ΠΟΛΥΜΕΡΕΙΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΖΑΓΟΡΑΣ

Ι. ΣΧΕΔΙΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ

1.        Ο διδάσκων καθηγητής αναφέρει σύντομα τη βασική θεωρία που είναι

ι.   Κύκλος 

ιι.  Κυκλικός δίσκος.

ιιι. Χορδή - Τόξο.

2.        Υπαγορεύει την Μ₁ στους μαθητές κάνει το 1⁰  παράδειγμα στον πίνακα

3.        Υπαγορεύει το προτεινόμενοΔ1 θέμα στους μαθητές και τους ζητά να το κάνουν στα τετράδιά τους. Ζητά το αποτέλεσμα. Έρχεται ένας μαθητής στον πίνακα και το επιλύει.

4.        Υπαγορεύει την Μ₂ στους μαθητές κάνει το 2⁰ παράδειγμα στον πίνακα

5.       Υπαγορεύει το προτεινόμενο Δ3 θέμα στους μαθητές και τους ζητά να το κάνουν στα τετράδιά τους. Ζητά το αποτέλεσμα. Έρχεται ένας μαθητής στον πίνακα και το επιλύει.

6.        Υπαγορεύει την Μ₃ στους μαθητές κάνει το 3⁰  παράδειγμα στον πίνακα

7.  Ο διδασκόμενος μαθητής επιβλέπεται από τον καθηγητή και αναπτύσσει στο τετράδιο του τις ερωτήσεις κατανόησης 3 , 4 και σχολιάζει τα αποτελέσματα των μαθητών.

8.  Γίνεται σύντομη ανακεφαλαίωση του αντικειμένου από τον διδάσκοντα καθηγητή 

9.        Δίνονται στον μαθητή για το σπίτι

     α) οι υπόλοιπες ερωτήσεις κατανόησης,

     β) τα θέματα: Δ2, Δ4 , Δ5 και Δ6.

ΙΙ. ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ

Ε₁: Τι λέγεται κύκλος; Πως συμβολίζεται;

Α₁: Κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ είναι το επίπεδο σχήμα που όλα τα σημεία του απέχουν από το Ο απόσταση ίση με ρ.

Συμβολίζεται (Ο,ρ).

Ε₂: Τι λέγεται κέντρο του κύκλου (Ο, ρ).; Πως συμβολίζεται;

Α₂: Λέγεται το σημείο Ο.

Ε₃: Τι λέγεται ακτίνα του κύκλου; Πως συμβολίζεται;

Α₃: Λέγεται η απόσταση του κάντρου από κάθε σημείο του κύκλου.

Συμβολίζεται  με ρ.

Ε₄: Με ποιο γεωμετρικό όργανο σχεδιάζουμε κύκλους;

Α₄: Με τον διαβήτη.

Ε₅: Πότε δύο κύκλοι λέγονται ίσοι;

Α₅: Όταν έχουν ίσες ακτίνες.

Ε₆: Τι λέγονται συμπτώσιμοι κύκλοι;

Α₆: Λέγονται οι κύκλοι που τα κέντρα τους συμπίπτουν και έχουν ίσες ακτίνες.

Ε₇: Τι λέγεται χορδή του κύκλου; Πως συμβολίζεται;

Α₇: Λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα που τα άκρα του είναι σημεία του κύκλου.

Ε₈: Τι λέγεται διάμετρος του κύκλου; Πως συμβολίζεται;

Α₈: Λέγεται η χορδή του κύκλου που διέρχεται από το κέντρο του.

Ε₉ :Ποια σχέση συνδέει την διάμετρο και την ακτίνα ενός κύκλου;

Α₉ : Η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας.

Ε₁₀: Τι λέγεται τόξο του κύκλου; Πως συμβολίζεται;

Α₁₀: Τόξο ΑΒ λέγεται το μέρος του κύκλου που έχει άκρα τα Α,Β και όλα τα σημεία του είναι σημεία του κύκλου.

Ε₁₁:Τι λέγεται ημικύκλιο;

Α₁₁: Λέγεται ο μισός κύκλος.

Ε₁₂: Τι λέγεται τεταρτοκύκλιο;

Α₁₂: Λέγεται το ένα τέταρτο του κύκλου.

Ε₁₃: Τι λέγεται κυκλικός δίσκος;

Α₁₃: Λέγεται ο κύκλος και όλα τα σημεία που περικλείονται από τον κύκλο.

Ε₁₄: Πότε ένα σημείο Α είναι εσωτερικό ενός κύκλου (Ο,ρ);

Α₁₄: Λέγεται το σημείο του επιπέδου του κύκλου που η απόσταση από το κέντρο του κύκλου είναι μικρότερη της ακτίνας του.

Ε₁₅: Πότε ένα σημείο Α είναι εξωτερικό ενός κύκλου (Ο,ρ);

Α₁₅: Λέγεται το σημείο του επιπέδου του κύκλου που η απόσταση από το κέντρο του κύκλου είναι μεγαλύτερη της ακτίνας του.

Ε₁₆: Τι λέγονται ομόκεντροι κύκλοι;

Α₁₆: Λέγονται οι κύκλοι που τα κέντρα τους συμπίπτουν.

Παρατήρηση: Δύο συμπτώσιμοι κύκλοι είναι ίσοι, ενώ δύο ίσοι κύκλοι μπορεί να μην είναι συμπτώσιμοι.

Σχόλιο: 1^ο: Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή του κύκλου.

2^ο: Δύο σημεία Α,Β ενός κύκλου ορίζουν πάνω σε αυτόν δύο τόξα.Για να ξεχωρίζουμε στο συμβολισμό ανάμεσα στα Α,Β τοποθετούμε 3^ο γράμμα.

Μ₁:  Για να σχεδιάσουμε κύκλο με γνωστή διάμετρο ΑΒ

Α) Βρίσκουμε το μέσο Μ του ΑΒ.

Β) Με κέντρο το Ο και ακτίνα ρ =ΟΑ=ΟΒ σχεδιάζουμε τον κύκλο.

Μ₂:  Για να βρούμε τα σημεία του επιπέδου Μ που απέχουν από ένα σημείο Ο απόσταση  ίση με ρ

αρκεί  να σχεδιάσουμε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ίση με ρ.

Μ₃: Για να χρωματίσουμε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το σημείο Α απόσταση μικρότερη με ρ

 αρκεί να σχεδιάσουμε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ίση με ρ και να χρωματίσουμε όλα τα σημεία που βρίσκονται μέσα στον κύκλο.

Μ₄: Για να χρωματίσουμε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το σημείο Α απόσταση μεγαλύτερη με ρ

 αρκεί να σχεδιάσουμε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα ίση με ρ και να χρωματίσουμε όλα τα σημεία που βρίσκονται έξω από τον κύκλο.

Μ₅: Για να κατασκευάσουμε τρίγωνο ΑΒΓ με δεδομένες πλευρές ΑΒ = γ , ΒΓ = α και ΑΓ = β

Α) Σχεδιάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ = α .

Β) Με κέντρο το Β και ακτίνα ίση με ΒΑ = γ γράφουμε κύκλο.

Γ) Με κέντρο το Γ και ακτίνα ίση με ΓΑ = β γράφουμε κύκλο.

Δ) Οι παραπάνω κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία Α,Α΄.

Ε) Ένα από τα σχηματιζόμενα τρίγωνα είναι το ζητούμενο ΑΒΓ αφού το πρόβλημα έχει δύο λύσεις.

Μ₆: Για να χρωματίσουμε τα κοινά σημεία δύο ομόκεντρων κύκλων(κυκλικός δακτύλιος)

Α) Με κοινό κέντρο Ο και ακτίνες ρ, ρ΄ ( ρ>ρ΄) γράφουμε τους κύκλους.

1. Απαντήστε με  Σ ? Λ στις παρακάτω ερωτήσεις:

α)  Η διάμετρος είναι η μεγαλύτερη χορδή.       Σ ? Λ

β)  Οι διάμετροι του κύκλου είναι ίσοι.              Σ ? Λ

2. Βάλτε σε κύκλο τη σωστή απάντηση

 Ένας κυκλικός δίσκος έχει

Α. 2 σημεία             Β. άπειρα σημεία     Γ. Λίγα σημεία

Δ. Τίποτα από τα προηγούμενα.

­ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

  Παράδειγμα  1ο

  Να σχεδιάσετε κύκλο που έχει διάμετρο ΑΒ = 10cm.

Επίλυση

Α) Βρίσκουμε το μέσο Μ του ΑΒ, παίρνοντας ΑΜ=5cm.

Β) Με κέντρο το Μ και ακτίνα ρ =ΜΑ=ΜΒ= 5cm σχεδιάζουμε τον κύκλο.

Παράδειγμα   2ο

Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου που απέχουν από το σημείο Ο απόσταση ίση με 3, 5cm .

Επίλυση

Με κέντρο Ο και ακτίνα ίση με ρ = 3, 5cm σχεδιάζουμε κύκλο.

Τα σημεία του κύκλου (Ο, 3, 5cm ) είναι τα ζητούμενα σημεία.

Παράδειγμα   3ο

Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα BΓ= 5cm. Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου τα οποία α­πέχουν:

α) 3cm από το Β β) 4cm από το Γ γ) 3cm από το Β και 4cm από το Γ.

Επίλυση

α)  Είναι  τα εσωτερικά σημεία του κύκλου ( Β,3cm).

β)  Είναι  τα εσωτερικά σημεία του κύκλου ( Γ,4cm).

γ) Είναι  το κοινό μέρος των δύο κύκλων ( Β,3cm) και

 ( Γ,4cm).

Παράδειγμα   3^ο

Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές AB=5cm, ΑΓ=6 cm και BΓ=9cm.

Επίλυση

Α) Σχεδιάζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ = 9cm  .

Β) Με κέντρο το Β και ακτίνα ίση με ΒΑ = 5cm,  γράφουμε κύκλο.

Γ) Με κέντρο το Γ και ακτίνα ίση με ΓΑ = 6 cm γράφουμε κύκλο.

Δ) Οι παραπάνω κύκλοι τέμνονται σε δύο σημεία Α,Α΄.

Δ1.  . Να σχεδιάσετε έναν κύκλο διαμέτρου δ=6,8cm.

Δ2.Να γράψετε ένα ευθύγραμμο τμήμα BΓ=10cm. Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου τα οποία α­πέχουν:

α) 6cm από το Β β) 8cm από το Γ γ) 6cm από το Β και 8cm από το Γ.

Δ3. Να κατασκευάσετε τρίγωνο ΑΒΓ με πλευρές AB=3,5cm, ΑΓ=4,5 cm και BΓ=6cm.

Δ4. Δίνεται ευθύγραμμο τμήμα AB=8cm και οι κύκλοι (A,4cm) και (Β,6cm). Να βρείτε το σύνο­λο των σημείων του επιπέδου που απέχουν από το Α απόσταση μεγαλύτερη από 4cm και απ' το Β απόσταση μικρότερη ή ίση από 6cm.

Δ5. Δίνονται δυο ομόκεντροι κύκλοι (Ο,3cm) και (Ο,4cm).Να βρείτε τα σημεία του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Ο

α) Περισσότερο από 3cm

β) Λιγότερο από 4cm

γ) Περισσότερο από 3cm και λιγότερο από 4cm.

Δ6. Δίνεται ημικύκλιο διαμέτρου AB = 10cm.

α) Να βρείτε δύο σημεία Γ, Δ του ημικυ­κλίου που να απέχουν από τα Α,Β αντίστοιχα 4cm.

 β) Να μετρήσετε τις αποστάσεις των Γ,Δ απ' την ΑΒ και να τις συγκρίνετε,

 γ) Ποια η θέση της ΓΔ ως προς την ΑΒ;